V roce 1994 došlo v matematice k revoluční události, kdy matematik Andrew Wiles konečně prokázal Fermatovu poslední větu. Tato teorie vyjadřuje klíčový problém v oblasti číslo teorie, který zůstal více než tři století nevyřešený. Wilesův důkaz přitáhl nejen pozornost matematiků, ale stal se i hlavním tématem na titulní straně deníku „The New York Times.“
Aby Wiles mohl dosáhnout tohoto výkonu, musel nejprve prokázat komplexní mezivětu s pomocí matematiky Richarda Taylora. Tato střední domněnka měla širší význam, který přesahoval samotný problém Fermatovy věty.
Klíčové propojení mezi eliptickými křivkami a modulárními formami
Mezivěta prokázala, že klíčový typ rovnic nazvaný eliptické křivky je vždy spojen s modulárními formami, což jsou zcela odlišné matematické objekty. Wiles a Taylor otevřeli dveře mezi těmito různými oblastmi matematiky, ukazujíc, jak se svět eliptických křivek a modulárních forem vzájemně odráží jako zkreslené zrcadlo. Pokud se nechte pochopit, co se týká eliptických křivek, stačí nahlédnout do světa modulárních forem a přenést získané závěry zpět do oblasti eliptických křivek.
Propojení mezi těmito dvěma světy, známé jako „modularita,“ nebylo jen klíčem k prokázání Wilesovy Fermatovy poslední věty. Mnoho matematiků tuto myšlenku následně použilo k pokroku v mnoha dalších dosud nevyřešených problémech.
Modularita se také stala základem pro rozsáhlou skupinu hypotéz, které usilují o budování „teorie velké unifikace“ v matematice, nazývané Langlandsův program. Pokud se prokáže pravdivost těchto hypotéz, pak eliptické křivky a všechny typy rovnic budou spojeny s objekty v zrcadlovém světě.
Matematici doufají, že budou moci snadněji přecházet mezi těmito dvěma světy a odpovídat na více otázek. Nicméně prokázání vztahu mezi eliptickými křivkami a modulárními formami představovalo výjimečně složitou výzvu. Mnoho badatelů se domnívalo, že navázání komplexnějších spojení bude nad jejich schopnosti.
Nový pokrok od čtyř matematiků
Ale tým čtyř matematiků tento názor vyvrátil. V únoru 2025 se jim podařilo rozšířit propojení modularity na složitější rovnice známé jako „Arbelovy povrchy.“ Tento výzkumný tým, zahrnující Franka Calegariho z Chicagské univerzity, George Boxera a Tobyho Ghee ze Smíšené univerzity v Londýně a Vincenta Pironiho z Francouzského národního střediska pro vědecký výzkum, dokázal, že všechny Arbelovy povrchy náležejí k určitému hlavnímu třídě a jsou vždy spojeny s modulárními formami.
„Matematici v zásadě věří v pravdivost všech těchto hypotéz, ale je vzrušující vidět, jak se to skutečně prokazují,“ řekla matematička Ana Karayianni z Imperial College London. „Obzvlášť, když je to realizováno v případech, které se zdály zcela nedosažitelné.“
Toto je pouze začátek mnohaletého zkoumání. Konečným cílem matematiků je prokázat modularitu pro všechny Arbelovy povrchy. I když tato úspěch již může být nápomocný při řešení mnoha dosud nevyřešených otázek, obdobně jako prokázání modularity pro eliptické křivky otevřelo nové cesty v mnoha výzkumech.
Odraz ve zrcadle
Eliptické křivky představují základní typ rovnic, jenž využívá pouze dvě proměnné, x a y. Když jsou tyto rovnice graficky znázorněny, vypadají na první pohled jako jednoduché křivky. Avšak mezi jejich řešeními existují bohaté a složité vztahy, které se objeví v mnoha klíčových problémech číslo teorie. Například, to, co je považováno za jedno z nejvýznamnějších dosud nevyřešených problémů, conjectura Birch-Swinnerton-Dyer, je spojeno s vlastnostmi řešení eliptických křivek.
Přímé studium eliptických křivek je složité. V takovém případě se matematikové rozhodují také přistoupit z jiného úhlu pohledu. K tomu se používají modulární formy, což jsou funkce s vysokou symetrií, které se objevují v oblasti analytické matematiky. Díky této bohaté symetrii se modulární formy stávají relativně přístupnémi objekty pro matematický výzkum.
Zpočátku nebylo myšleno, že by mezi těmito dvěma objekty mohla být souvislost. Nicméně Wiles a Taylor prokázali, že všechny eliptické křivky odpovídají určitém modulární formě. Oba objekty sdílejí společné vlastnosti, například soubor čísel, které popisují řešení eliptických křivek, se rovněž objevují u odpovídající modulární formy. Tímto způsobem je možné získat nové poznatky o eliptických křivkách prostřednictvím modulárních forem.
Matematici považují modularitu jako příklad obecného platného faktu. Existuje širší třída matematických objektů, které převyšují eliptické křivky, které také budou mít odraz v symetrických funkcích, jako jsou modulární formy. A toto tvoří jádro Langlandsova programu.
Výzvy a objevování nových cest
Když se přidá další proměnná z, objeví se v trojdimenzionálním prostoru povrch, což se nazývá Arbelův povrch, což je komplikovanější objekt. Společně se složitou strukturou svých řešení byly Arbelovy povrchy předmětem zkoumání matematiků.
Přirozené se jeví, že by Arbelovy povrchy měly odpovídat složitějším typům modulárních forem. Avšak jednoduše přidání jedné proměnné dramaticky zvyšuje obtížnost v konstrukci těchto objektů a v nalezení jejich řešení. Prokázat, že modularita platí i pro Arbelovy povrchy, se zdálo být téměř nemožné. „Bylo nám řečeno, že na to nemáme ani pomyslet, protože už mnoho lidí se pokusilo a selhalo,“ říká Gee.
Nicméně Boxer, Calegari, Gee a Pironi se rozhodli výzvu přijmout. Všichni byli zapojeni do výzkumu Langlandsova programu. „Chtěli jsme prokázat jednu z těchto hypotéz na objektech, které se objevují ve skutečném světě, nikoli na nějakých bezútěšných matematických konceptech,“ říká Calegari.
Pokud by se jim podařilo prokázat modularitu pro Arbelovy povrchy, otevřelo by to nové možnosti v matematice. „Pokud se nám to podaří, umožní nám to mnoho věcí, které by bez toho byly nemožné,“ dodává Calegari.
Hledání správného mostu
Tým zahájil spolupráci v roce 2016, snažíce se překonat složitosti, které doprovázely Wilesův postup u eliptických křivek. Každý krok byl však daleko komplikovanější mezi Arbelovými povrchy. Zaměřili se na specifický typ zvaný „normální Arbelovy povrchy,“ který má relativně jednoduché struktury řešení.
Museli ukázat, že každému Arbelovu povrchu odpovídá modulární forma, kterou lze z těchto čísel vyvodit. Tyto čísla slouží jako štítky a mohou se spojit 1:1 mezi každým Arbelovým povrchem a modulární formou.
Avšak problém byl v tom, že zatímco výpočet specifických Arbelových povrchů je snadný, nebyli schopni určení, jak konstruovat stejně pojmenovanou modulární formu. Konstrukce modulárních forem je extrémně komplikovaná i za omezených podmínek. „Nedokázali jsme ani zjistit, zda ten objekt vůbec existuje,“ říká Pironi.
Tým se rozhodl, že bude stačit, když unikátní modulární forma bude strukturována „v slabém smyslu.“ To znamená, že čísla modulárních forem musela být „ekvivalentní v rámci hodinového výpočtu,“ což umožní přístup k Arbelovým povrchům.
Stvořte hypotetickou představu hodin: pokud ručička ukazuje na 10 a čekáte 4 hodiny, ukáže se číslo 2. Avšak hodiny nemusí být stanoveny na 12, mohou mít čistě libovolnou hodnotu jako referenční bod.
V tomto konkrétním případě přešli Boxer, Calegari, Gee a Pironi na ukázání, jak mohou mít dva počty shodný výsledek v „hodinách, které mají čísla až do 3.“ Tento rámec umožnil větší flexibilitu při konstrukci modulární formy, která odpovídá specifickým Arbelovým povrchům.
Avšak i to bylo nesmírně obtížné.
Vědci našli bohatství modulárních forem s počty, které bylo snadné počítat. Ale to bylo možné pouze na základě hodin definovaných na čísla až do 2. Arbelovy povrchy vyžadovaly hodiny s čísly do 3.
Existoval několik nápadů, jak by mohli provázat tyto obě hodiny, ale žádná z metod nevytvořila dostatečně silné spojení mezi Arbelovými povrchy a modulárními formami. Zde přišla nečekaná pomoc.
Nečekaná podpora
V roce 2020 uvedl matematik Liu Pan důkaz, který byl spojen s modulárními formami. Zdálo se, že pro čtyři matematiky nemá žádné bezprostřední vazby. Avšak brzy se ukázalo, že metody, které Pan vyvinul, měly ohromně hlubokou souvislost s jejich cílem. „Bylo to naprosto nečekané,“ vzpomíná Pan.
Čtyři matematikové pravidelně vedli schůzky přes Zoom po několik let a začli uplatňovat Panovu metodu k pokračování jejich výzkumu. Přesto zůstávala jistá velká překážka. V létě 2023 se Boxer, Gee a Pironi rozhodli využít příležitosti a setkat se tváří v tvář na konferenci v Bonnu, Německo. Jen jedna osoba měla problém s časováním: Calegari plánoval přednášet v Číně.
Přestože Calegari prošel řadou obtíží při ukončení vízového procesu v čínském konzulátu, došlo k průlomovému rozhodnutí. „Pochodil jsem hodiny, abych si vízum zajistil, a poté, co mi ho odmítli, jsem se ocitl v situaci, kdy mi auto odtáhli,“ říká Calegari. Nakonec zrušil plánované přednášení, aby se připojil ke svým přátelům v Německu.
Gee zajistil prostory pro týmy v Hausdorffově výzkumném institutu, které byly méně pravděpodobně rušené kolemjdoucími matematiky. Po celou dobu jednoho týdne čtyři zdokonalovali teorem Pana, trávějí denně 12 hodin tvrdé práce prakticky jen otevřením dveří pro kávu. „Po každém šálku kávy jsme obvykle vtipkovali, že se musíme vrátit do dolu,“ vzpomíná Pironi.
Tato intenzivní práce přinesla výsledek. „Po mnoha zdrženích jsme pocítili, že na konci toho jednoho týdne jsme dosáhli obrysů úsudku,“ říká Calegari.
Převedení toho náhledu do důkazů nazvaných na 230 stránkách vyžadovalo další rok a půl. Nakonec tým v únoru 2025 zveřejnil svůj důkaz online, prokázal, že každému normálnímu Arbelovému povrchu odpovídá modulární forma.
Tento nový obzor, který čtyři otevřeli, by mohl jednou být roven výpočtům Taylora a Wilesa a potenciálně vyřešit složitosti Arbelových povrchů, které jsme nikdy ani nechtěli odhalit. Nicméně, nejprve musí být výsledky rozšířeny na atypické Arbelovy povrchy. Tým pokračuje ve spolupráci s Panem na tomto úkolu. „O deset let později bychom měli mít téměř všechna potřebná zjištění,“ dodal Gee.
Tento výzkum umožnil matematikům formulovat nové hypotézy. Příkladem je obdobná konjectura Birch-Swinnerton-Dyer, která zahrnuje Arbelovy povrchy. „Nyní přinejmenším známe, že může existovat analogie k těmto hypotézám ohledně normálních Arbelových povrchů. Dříve to nebylo jasné,“ řekl matematik Andrew Sutherland z Massachusettského technologického institutu.
„Mnoho toho, co jsme dříve považovali za vysněné, se nyní stává dosažitelným díky této teorii,“ dodal. „Situace se odtud jistě změní.“
